La gráfica de los diseños de Campana provienen de visiones de su experiencia en ceremonias chamánicas de sanación y estudios antropológicos de los pueblos originarios, sus objetos culturales y cosmovisión religiosa, en especial de los pueblos andinos de la selva y la costa del desierto. Teniendo como referente a los artistas visionarios de la selva de Perú (mantos shipibos) y de los pueblos originarios, relacionados con su simbología de carácter espiritual.

Ha expuesto de manera contínua tanto en Chile: Santiago, Temuco, Concepción , Chillán, Valparaiso y otras ciudades. Como en el extranjero: Perú, Argentina, Alemania, Suiza, Australia, Canada, U.S.A. y otros países de Europa y América Latina. Quedando en prestigiosos concursos en Europa (Xylon 12, Xylon 13 y Xylon 14).

Palo Santo, Copal, Agua Florida, Inciensos naturales…      

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Primera tienda especializada en chamanismos

Inciensos naturales, nacionales, India, Japón, Tibet, Nepal, Perú, México, Dubai… Hechos a mano artesanalmente. 

Envíos a toda España.

Fractal por naturaleza, Jordi Bofill descubre también la fractalidad en su propio trabajo artístico, cuando, en 2012, creamos, en colaboración creativa conjunta conmigo mismo, la obra “Fractal”, que abrió su personal cosmos plástico a una realidad geométrica de calidoscópicas caras que ha ido impregnando una capacidad de creación tan amplia como la propia fractalidad que la anima, en dinámica artística digital que el artista comparte, con sensibilidad e inteligencia, con aquella práctica tradicional del dibujo a tinta sobre papel que le mantiene fielmente unido a sus propios orígenes artísticos, de la misma manera que le permite establecer satisfactorias conexiones profesionales con artistas de todo el mundo con los que amplia sus horizontes técnicos, sensibles e intelectuales, en series hechas  en régimen de colaboración,  como las recientes “Mask” (Mehata Hiroshi –Japón), “Muerte y vida” (Psydrack-Carlos Villaseñor-Guadalajara-México) o el trabajo, de consistencia textil, hecho con el catalán Babeus, de la misma manera que, fiel a su mentalidad fractal, ha sabido plasmar su arte en impresión sobre ropa en colaboración con Mayan Soul (Virginia-USA), o ha realizado la portada del libro “Física y Química avanzados”, de Jordi Alemany Sabater, como demostración de la gran  diversidad de unos intereses vitales que vibran en concordancia con esta filosofía fractal que coloca, en un mismo espacio, física, química, geometría, matemática, cosmología, filosofía, y poesía, bajo el prisma de la mirada particular de un artista único, a pesar de su fractalidad.

Frescos están, aún, “Los siete pecados capitales” que hemos trabajado, plásticamente, juntos, satisfechos de los nuevos estímulos que, para ambos, contiene cualquier colaboración creativa, como la que ha generado estos pecados bíblicos que, sobre soporte digital, tienen ahora nuevos perfiles contemporáneos, aunque los vicios que los animan sean, por desgracia, atemporales.

Fiel al carácter poliédrico de su fractalidad esencial, Jordi Bofill, proyecta también parte de su sensibilidad creativa como responsable del Mas Pi Art, el espacio que dedica a la exhibición de obras de arte el Restaurante Mas Pi de Verges, en su notable proyecto de combinar los placeres de la carne con los del espíritu, sin llegar al pecado capital, pero acercándose a lo más sublime que el espíritu humano pueda permitirse, en la dimensión también musical de los vídeos de creación que ilustran las exposiciones que programa, en un espacio terrenal que tiene voluntad celestial y la misma dimensión cosmológica que el universo creativo de Jordi Bofill.

Claudi Puchades, artista i comunicador cultural.

Sant Pol de Mar, 2014

JORDI BOFILL-COSMOS ART: http://jordibofillvisionari.blogspot.com.es/

Blue sun (Jordi Bofill-Cosmos Art) Digital Art. 2014

Collaboration Jordi Bofill and Mehata Hiroshi (Japan).2013

Col.laboracio.7 pecats capitals.SUPERBIA.Claudi Puchades i Jordi Bofill.2014

CONTACT 2.Psydrack&Jordi Bofill collaboration.2014

En la muestra podremos ver vídeos, fotos, instalaciones, dioramas, cerámicas, plantas curativas con sus nombres y usos etc, y la finalidad de este evento es informar al espectador en forma didáctica y simple, sobre las actividades ancestrales del curanderismo y chamanismo en el Peru que aún se viene practicando con mucha fe, sobre todo como una alternativa de medicina alternativa o complementaria.

Conferencias con la participacion de Chamanes, Antropologos, psicologos, medicos y arqueólogos.

La imposible búsqueda en los vocablos de la exactitud y la perfección del alma, hace que Jordi no encuentre las palabras adecuadas para describirse y, sonriente, explica: “por eso dibujo”. La imagen le permite expresarse mucho mejor cuando se refiere a él y a su obra y su mayor gratificación es conseguir que, una vez terminada la obra, el resultado se ajuste técnica y expresivamente a lo que se había planteado.

Cree que el trabajo de los artistas debe motivar el aprendizaje, aportar nuevas ideas tanto a los demás artistas como a la comunidad en general y eso se consigue “diciendo cosas que nunca se han dicho, evitando las repeticiones y la monotonía” . Con esta intención, siempre deja abierta la interpretación de su obra. Piensa que esto es lo realmente importante y se siente feliz cuando alguien reconoce en un cuadro su particular identidad, su voz.

Para él, el momento creativo más importante es cuando, después de vestir la tela con sus característicos cielos, va creando, intuitivamente, la composición armónica del dibujo. Esta actividad la vive como un ejercicio de reflexión y autoanálisis personal. Pero también confiesa que experimenta una enorme sensación de satisfacción compartida cuando el observador, interpretando su obra, la hace suya y traslada esta conexión a su cosmos singular.

Veamos pues una muestra de esas geniales fotografías, y para el que quiera ver más ejemplos de su esplendido trabajo, tan solo tiene que visitar su página web

Dice Zademack:

“En el fondo de mí mismo y realmente desde que nací, un cuerpo de artesano y un alma de artista han estado unidos dentro de mí. Ahí está el proceso creativo que precede a la verdadera pintura. Una idea, una atmósfera, las composiciones y pensamientos acerca de todo lo que la pintura contendrá. Y ahí está el proceso activo de creación que realizará la atmósfera y la idea. Cuando ambas van de la mano juntas, estoy contento con mi trabajo.”

Pinche aquí para ver el vídeo

Obra gráfica de la artista barcelonesa Agnès Mateu dedicada a la docencia del Yoga y a la pintura.

En el presente, siempre nuevo, me emociona reflejar belleza, luz, gozo y todo el espacio necesario para permitir que lo que ya es, ¡sea!

Agnès Mateu

Web de Agnès Mateu

Esta es la casa que me vio crecer en el barrio Carrizal de Aguada, Puerto Rico, con mi madre y mis hermanos asomados en el balcón. Recuerdo que fui yo quien tomó esta foto, como expectadora de mi propia historia, siempre queriendo grabar en mi todo lo que me acercara a mis raices, a mis origenes. Es esta la casa que siempre aparece en mis sueños de noche, en los sueños infantiles que aun perduran en mi.

No puedo decir que nací con un lápiz en la mano, pero siempre recuerdo que me encantaba dibujar. Mi infancia fue alegre, como mágica, quizas por el hecho de habitar en aquel palmar, en aquel barrio poco poblado, como alejado del mundo, cerquita del mar. Alli aprendi a caminar descalza por el monte sin lastimarme con los morivivis, a crear juegos e historias junto a mis hermanas y primas, a imaginar que las piedras tenian vida como los animales y que podian ser mascotas y tambien a contar las estrellas por la noche.

Otra cosa que aprendí fue cuando entré en la escuela. Aprendí que era diferente, “rara”, eso era lo que muchos comentaban de mi y me hicieron creerlo. Rara porque no tenia un lindo perrito como mascota, sino dos iguanas y una tortuga, porque preferia pasar ratos dibujando y no jugando con muñecas, porque me gustaba la historia… asi me convertí en una joven tímida y reservada, muy callada siempre.

Mi juventud fue menos fácil aun, el seno de mi familia fue corrompido por la droga y el alcohol. Comenzamos a vivir tiempos de miedo, de mucha precaridad, de soledad… tiempo que duró largos años. El dibujo y la pintura siempre fueron mi refugio.

Tuve la oportunidad de viajar a Panamá, a la comarca de Kuna Yala, especificamente a la isla de Ustupu. De ahi a la Amazonia Peruana, donde al inicio fui solo por tres meses y viví casi tres años. Viví tambien un tiempo en Oaxaca, México… quedé muy marcada por los colores, por los razgos de la gente, por la identidad latina y por la humanidad que encontré en todos estos paises. Luego de haber vivido varios años en los Pirineos franceses, ahora me encuentro en Bretaña.

Mi pintura ha pasado varias etapas, entre las cuales están las que pertenecen a una busqueda de identidad, las que surgen como un sentir, como reacción ante los acontecimientos que ocurren en nuestra sociedad hoy, y las que cuentan una historia íntima y personal. Cada pintura tiene una historia, un simbolismo.

Soy autodidacta, mi escuela hasta ahora ha sido el mundo mismo y la vida que he tenido.

Eurípides

Desde hace unos años he participado en varias sesiones de toma de ayahuasca, madre de las medicinas para estos indios de la selva amazónica. Me llamó la atención el diseño de sus telas y objetos rituales, pues parecían representar de forma esquemática la naturaleza de las visiones que tenía. Casi todas las visiones se podría decir que tenían su aspecto simétrico y opuesto, además de aparecer lo fijo cubierto y rodeado por lo móvil. Paréciame ver el árbol fijo con la serpiente móvil enroscándose.

Me atrevo a estas singladuras visionarias gracias a que me figuro atado al Pilar de la Virgen, imagino, de forma similar a Ulises, que se ató al mástil de su nave para poder oír a las seductoras sirenas.

La selva amazónica presenta un biosistema muy complejo y además muy delicado y frágil. Ha sido necesario un proceso largo para que la naturaleza haya convertido en fértil una tierra arcillosa con muy pocos nutrientes para las plantas, árboles, animales y seres humanos.

Sin embargo, el shipibo, como hombre de la Selva, está en íntimo contacto con su entorno y forma parte de él, lo aprovecha sabiamente. De alguna manera sabe que todo está interrelacionado. El conocimiento de esta vinculación que presentan todos los elementos conformadores de esta bioesfera, la representan en todos los originales y enigmáticos diseños presentados en sus objetos artesanales.

«El mundo entero está cubierto por diseños», dice una canción shipibo.

El significado de los diseños casi se ha perdido. La mujer shipibo refiere que sólo sus antepasados lo sabían. Estos diseños tuvieron un código de significado, una escritura esotérica relacionada con la cosmología shipibo y su visión del universo. «Estas líneas torcidas representan serpientes», comenta una anciana: «La anaconda misma nos enseñó a pintar».Un antropólogo refiere que un shipibo indicando con su dedo el cielo lleno de estrellas dijo: « Ves que arriba está lleno de caminos, así arriba es igual que abajo, todo lleno de caminos. Hacemos nuestras faldas bordadas de blanco sobre fondo negro para representar la luz de las estrellas. Forman diseños porque nosotros vemos estos caminos en el cielo».

Desde tiempos remotos los Shipibo observaron los extensos y estrechos caminos que unían los astros entre sí. Estos caminos se asemejan a franjas de neblina blanca y reluciente, pudiendo ser apenas vistas por seres humanos capaces de traspasar la materia física.

Dicen los Shipibo que fue el Inca quien introdujo la cushma (especie de túnica) en el Ucayali. Fue el Inca quien también enseñó a las mujeres a tejer el algodón silvestre con el telar de cintura. No está claro si se refieren a un personaje de la cultura Inca o a Dios, a quien los shipibo llaman Inca. Dicen que los espíritus que viven en el mundo-cielo visten cushmas blancas, brillantes y luminosas. Los hombres shipibo tienen que imitar a Dios. La cushma es pintada con símbolos masculinos para dar poderes sobrenaturales al hombre.

Los cuatro colores sagrados para los Shipibo son el rojo, el amarillo, el blanco y el negro. Estos colores figuran en la cushma. A la mujer shipibo le gusta los colores llamativos. Con su blusa de colores vivos y su falda pintada afirma su incorporación al grupo y se siente poseída por los espíritus protectores que representan. Los colores rojo, amarillo y blanco son asociados con el sol; el verde, azul y negro con la luna. Es costumbre utilizar colores complementarios en la blusa para acentuar el efecto óptico: rojo con verde, amarillo con violeta, azul con naranja. De tal manera se busca el equilibrio en todo.

Para comprender el simbolismo de los diseños es el chamán o murayá quien tiene la clave. Es el mediador entre la tierra y el cielo, entre Dios y los hombres. El chamán nos dice que todo el mundo visible está cubierto por motivos invisibles.

Es responsabilidad del chamán rescatar los diseños del mundo celestial y transmitirlos a las mujeres. La reproducción de los diseños en todos los objetos de la cultura material daba poder y protección a la vivienda, a las personas y al grupo entero. Visto desde esta perspectiva la pérdida de los motivos tradicionales significaría no solamente un empobrecimiento del ambiente, sino también del espíritu.

La mujer shipibo se expresa creativamente por el arte del dibujo. Diseños geométricos de gran complejidad son transmitidos de madre a hija. Los motivos pueden aparecer en el sueño o en estados alterados por la ingestión de plantas psicotrópicas. También la mujer puede solicitarlos directamente al chamán. Una gran artista es respetada en todo el territorio shipibo. Sus diseños son estudiados y admirados por las demás mujeres. Las grandes artistas practican disciplinas espirituales como ayunos y la abstención sexual para incrementar el poder de su imaginación y mejorar sus habilidades creadoras.

El motivo central al diseño shipibo es Ronín, la serpiente cósmica que combina todos los diseños imaginables en su piel. En el tiempo mitológico mostró su piel a la mujer shipibo ancestral. La línea principal de cada diseño siempre representa a Ronín, quien ha creado el universo y simboliza a Dios. Esta da el ritmo básico del diseño. Cuanto más larga más será admirada. Debe presentar múltiples variaciones sobre un mismo tema, con infinidad de vueltas enroscadas a manera de una serpiente sin fin, la Serpiente Cósmica. Las líneas secundarias corren en paralelo a las principales, como un eco del tema dominante, en un tono menor.

Las líneas finas de relleno son tradicionalmente de forma octagonal y deben atestar el vacío restante.

Aunque tengan semejanza, nunca se ve dos piezas con el mismo diseño. El motivo que se percibe inicialmente como un diseño positivo sobre fondo negativo, se puede apreciar también al revés. Un gran artista debe mantener un equilibrio perfecto entre los elementos positivos y negativos. Los diseños dan la impresión de que pueden ser comprimidos dentro de un espacio mucho más limitado, o que extendidos cubrirían el mundo entero si no estuvieran limitadas por el borde de la tela o el de la vasija. Ver un diseño shipibo es mirar por una ventana sobre el infinito: fenestra aeternitatis. Los diseños siguen una trayectoria sin fin en la imaginación topológica del shipibo.

Las figuras principales representadas en el diseño shipibo son el cuadrado, el rombo y la cruz. La cruz puede simbolizar al espíritu inmortal de una persona.

Un modelo del cosmos shipibo estaría representado simbólicamente mediante tres planos superpuestos. Nuestro mundo estaría en el centro. Los mundos de arriba y de abajo de la tierra son perfectamente simétricos. Así las cosas que están por debajo son el reflejo de las de arriba, como dijo Hermes Trimegisto.

Los planos, de forma cuadrangular, están orientados hacía los cuatro puntos cardinales, dándonos el cuadrado y el rombo.

Al juntar los cuatro puntos cardinales con los cuatro puntos intermedios, o solsticios, tenemos el octágono, diseño básico de las líneas de relleno.

Se cree que el plano cósmico está dividido en cuatro partes iguales por una cruz central que reúne los puntos cardinales. El centro del universo es el punto de intersección de los brazos de la cruz cósmica.

Los Shipibo dicen que hay una cruz enorme en el centro del cielo. Esta cruz invisible está representada por la constelación de la Cruz del Sur que domina el cielo del Ucayali durante los meses de sequía. Los misionero se asombraron al saber que la cruz era una figura sagrada por los Shipibo desde tiempos remotos.

Estos artistas Shipibos se nos muestran como los antiguos poetas y hermeneutas, o sea, intérpretes de signaturas eternas.

Estos Shipibos no reivindican la obra de arte como medio de expresión de sí mismos, como la mayoría de los artistas modernos. Se parecen a los matemáticos en el interés que tiene su disciplina por las verdades duraderas y eternas y por ese gusto por la estética de la simetría y la invariancia. Y es que, en su forma más pura, la matemática mantiene necesariamente una cierta reserva hacia, el..mundo real de la contingencia caprichosa y la idiosincrasia humana. Esta aversión por lo personal se manifiesta incluso en los libros de matemática aplicada y en los de divulgación. Para un matemático un libro que utilice en el la palabra «yo» no sería de matemática pura.

En el arte shipibo reconocemos esa supervivencia metafísica, sin caer en la falaz ecuación entre esencialidad y simplificación.

En nuestro análisis del arte Shipibo esperamos no amontonar vocablos sonoros sobre unas manchas de color o unas líneas insignificantes, como habitualmente la crítica en la plástica moderna viene haciendo. El arte shipibo no es, por encima de todo, un producto del discurso, sino la articulación compleja de una unidad de sentido, la representación de la belleza sutil y elaborada del velo prolífico con que el logos se envuelve.

Es por lo demás evidente que ningún arte podría sacar de la “naturaleza” formas que no estuvieran virtualmente implícitas en esos gérmenes a los que podemos denominar los “sellos geométricos”. Así, el arte Shpibo como todo arte tradicional procede de una ciencia de la analogía, que basa la relación entre la imagen y su modelo en un símbolo geométrico, correspondiente a una cualidad espiritual inherente a aquello que debe ser representado.

Ésta es, por lo demás, la razón por la que los diseños shipibo permanecen siempre como “ornamentales”: no extrayendo su razón de ser de una imitación ilusionista de la naturaleza, sino que guardan siempre el carácter objetivo de lo que son, a saber, formas geométricas, y colores repartidos sobre un plano.

Como Comenta Ananda Coomaraswamy: «Haber perdido el arte de pensar en imágenes es precisamente haber perdido la lingüística propia de la metafísica y haber descendido a la lógica verbal de la «filosofía».

La verdad es que el contenido de una forma «abstracta» incorpora implicaciones que sólo con dificultad pueden expresarse en palabras, si es que pueden expresarse; la naturaleza misma del arte shipibo es la prueba inmediata de su contenido esencialmente intelectual.

Esto no se aplica sólo a las representaciones diagramáticas: en realidad no se hacía nada para el uso que no tuviera un significado tanto como una aplicación: «Las necesidades del cuerpo y del espíritu se satisfacían juntas»; «lo físico y lo espiritual todavía no se habían separado», «la forma significante, en la que lo físico y lo metafísico formaban originalmente una polaridad equilibrada. El conocimiento que tenemos del «ornamento» se ha vaciado incesantemente de significado en el discurrir del tiempo, y así decimos que se trata de un “ornamento” cuando queremos decir algo insignificante. Sigue comentando Coomaraswamy: «Lo que nosotros llamamos «invenciones» no son nada sino la aplicación de principios metafísicos conocidos a fines prácticos; y es por eso por lo que la tradición atribuye siempre las invenciones fundamentales a un héroe ancestral de la cultura (en último análisis, siempre un descendiente del Sol), es decir, a una revelación primordial».

Ya hemos dicho que los Shipibo refieren que hay una cruz enorme en el centro del cielo, y que esta cruz invisible está representada por la constelación de la Cruz del Sur que domina el cielo del Ucayali.

Este motivo central del diseño shipibo está rodeada por Ronín, representada mediante infinidad de vueltas enroscadas a manera de una serpiente sin fin. Esta Serpiente Cósmica que combina todos los diseños imaginables en su piel, y que en el tiempo mitológico mostró su piel a la mujer shipibo ancestral. Esta representación lineal da el ritmo básico al diseño, presentando múltiples variaciones sobre el mismo tema.

La Cruz del Sur es una imagen y reflejo del verdadero “Centro del Mundo”. La interpretación de este simbolismo nos lleva directamente a consideraciones que se refieren a un sentido más “interior” y profundo de ese simbolismo: puesto que el ser que recorre esa especie de laberinto llega finalmente a encontrar así el “lugar central”, es decir, desde el punto de vista de la realización iniciática, su propio centro, el recorrido mismo, con todas sus complicaciones, es a todas luces una representación de la multiplicidad de los estados o modalidades de la Existencia manifestada a través de cuya serie indefinida el ser ha debido “errar” primero, antes de poder establecerse en ese centro. Si lo comparamos con el simbolismo de los Vedas, la línea continua es entonces la imagen del sûtrâtmâ que une todos los estados entre sí, y, por lo demás, en el caso del “hilo de Ariadna” en conexión con el recorrido del laberinto, esa imagen se presenta con gran nitidez. Estos diseños del arte shipibo nos permiten establecer una semejanza más entre esos símbolos de un modo que pone de relieve una vez mas la perfecta concordancia de las diversas tradiciones.

Conocemos que esos meandros, entre los shipibo, en alguna medida representan una defensa contra los influjos psíquicos hostiles, pueden considerarse también esos meandros como dotados de un valor de protección, aunque la reducción de los símbolos a un uso más o menos “mágico” corresponde ya a un estado de degradación desde el punto de vista tradicional.

Un ejemplo notable, desde el punto de vista del simbolismo de los “encuadres”, está dado por ciertos caracteres chinos que se referían primitivamente a ritos de fijación o estabilización consistentes en trazar círculos concéntricos o una espiral en torno de los objetos. En el Tao te king de Lao-tsë hay pasajes donde figuran esos caracteres y que son muy significativos a este respecto: “Gracias a un conocimiento convenientemente encuadrado (chie), marchamos a pie llano por la gran Vía”. De tal forma que un “conocimiento bien encuadrado” es propiamente un conocimiento en que cada cosa está puesta exactamente en el lugar que le conviene.

Sucede en ocasiones, que los descubrimientos matemáticos más recientes, van a dar con ciertas concepciones antiguas generalmente olvidadas o desdeñadas en esta época moderna. El punto de vista de los antiguos era esencialmente sintético y todo se miraba bajo el dominio de la metafísica pura; el de los modernos, por el contrario, se manifiesta como analítico. Estos acercamientos son un hecho extremadamente importante desde el punto de vista de la historia de las ideas. Es precisamente, a propósito de esta exposición de artesanía Shipibo, ahora cuando podemos establecer un acercamiento entre el conocimiento matemático actual y el análogo shipibo ejemplarizado en sus diseños lineales que recorren toda la superficie de sus obras de arte

Este paralelismo lo podemos encontrar con lo que se llama en matemáticas las «curvas de Peano o de Hilbert», que llenan el plano. Estos nuevos descubrimientos matemáticos que no encajaban en los patrones de Euclides y que fueron declaradas “patológicas” como una “galería de monstruos”, creyendo que había nacido fuera de los límites naturales, han devenido a ser inherentes a muchos de los objetos naturales que nos rodean. Es curioso constatar que estas estructuras matemáticas que creían escapar del naturalismo utilizan un lenguaje matemático que se muestra, otra vez, como increíblemente eficiente en las ciencias naturales.

Curvas de Peano o de Hilbert

En 1890, el matemático y profesor de la Universidad de Turín, Giuseppe Peano, advirtió que se pueden definir curvas que llenan áreas completas, curvas que ahora se llaman “Curvas de Peano”. Elaboró la formación de una curva que rellenaba todo el cuadrado unidad. Su construcción sigue el mismo mecanismo que la de la curva de Koch. Comenzando con un intervalo de longitud 1, éste se sustituye por una curva poligonal autointersecante formada por 9 segmentos iguales. Esta construcción se repite en cada uno de estos nueve segmentos continuando el proceso indefinidamente.

Como vemos en el gráfico en cada paso en la sucesión de curvas se tiene que dibujar cuatro copias de la curva anterior disminuidas a la mitad en escala. Colocamos dos de estas copias en los cuadrados superiores, una copia abajo a la izquierda girada 90 grados en dirección del reloj y la cuarta curva la colocamos simétricamente abajo a la derecha. Estas cuatro partes debemos unirlas para obtener la siguiente curva en la sucesión. La curva al final pasa por cada punto del cuadrado completo.

Aunque, como ya hemos dicho, el primero que construyó una curva así fue Giuseppe Peano, la sucesión de curvas que se ve aquí es de David Hilbert. Pues este matemático, un año después que Peano, realizaba esta versión más sencilla de la curva que también rellena todo el intervalo unidad.

La dimensión de esta curva es 2, igual que la superficie donde se dibuja, pues la curva rellena el plano en su totalidad (llegando al infinito , claro está). La curva de Peano y Hilbert es un caso particular de las curvas que rellenan el espacio (“space filling curves”).

Peano y Hilbert desarrollaron funciones continuas del intervalo [0, 1] al cuadrado unidad de modo que se establecieran correspondencias exhaustivas (hay puntos en el cuadrado unidad que poseen más de una imagen en el intervalo unidad).

CURVA DE PEANO MODIFICADA

Es en los inicios de siglo XX que la idea aparece reiteradamente en el mundo de las ciencias, particularmente en el área de las matemáticas. De alguna manera estas curvas interesan, sobre todo, a los matemáticos que realizan las primeras aproximaciones a lo que hoy conocemos como fractales.

Esta curvas que llenan toda un área completa se llaman hoy curvas de Peano o curvas de Hilbert.

Recordemos que la dimensión fractal de una curva está generalmente entre 1 y 2. La de Peano llega al límite, tomando el valor 2, es decir que su dimensión fractal es 2.

Los elementos básicos de las curvas de Hilbert son dos elementos, uno que llamamos “copas”(el cuadrado con la cara abierta) y otro que llamamos “uniones”(un vector que une dos copas). La cara abierta de una copa puede estar arriba, abajo, a la izquierda, o a la derecha. Además, cada copa tiene dos puntos-finales, y cada uno de estos pueden ser el punto de entrada o el punto de salida. Por lo tanto, hay ocho posibles variedades de copas. En la práctica, una curva de Hilbert usa únicamente cuatro tipos de copas. De igual forma, una unión tiene arriba (up), abajo (don), izquierda (left.) o derecha (right).

Una curva de Hilbert de primer orden es simplemente una copa sencilla, como la figura de arriba. .Aquí se rellena un espacio 2×2. La curva de Hilbert de segundo orden reemplaza esa copa por cuatro copas de menor tamaño, las cuales son enlazadas mediante tres uniones, como vemos en la figura de abajo; el enlace entre una copa y una unión ha sido marcado con un punto grueso en la figura. Los siguientes ordenes repiten el proceso o reemplazan cada copa por cuatro copas mas pequeñas y tres uniones.

Reiteramos que la curva de Peano-Hilbert es una curva de llenado de espacio que visita cada punto en una rejilla cuadrada de tamaños 2×2, 4×4, 8×8, 16×16, o cualquier otra potencia de 2. De esta manera las aplicaciones actuales de la curva de Hilbert residen, sobre todo en el campo del procesado de la imagen: especialmente en la compresión de la imagen y en el dithering. La curva de Hilbert es también una versión especial de un quadtree; cualquier función de procesado de la imagen que se beneficia del uso de quadtrees pudiere también usar la curva de Hilbert. Los quadtree o árboles cuaternarios son una estructura de datos usada frecuentemente para representar una imagen en bloques de diferentes tamaños, ya que permite una representación eficiente de la descomposición resultante y no requiere mucha información extra en la transmisión.

Fractales

Un germen de lo que se desarrollará con el nombre de fractales dado por B. Mandelbrot corresponde a lo que hemos descrito como las «curvas de Peano y Hilbert». La geometría tradicional, la euclídea, es la rama de la matemática que se encarga de las propiedades y de las mediciones de elementos tales como puntos, líneas, planos y volúmenes. La geometría euclídea también describe los conjuntos formados por la reunión de los elementos más arriba citados, cuyas combinaciones forman figuras o formas específicas.

Sin embargo, las formas encontradas en la naturaleza, como montañas, franjas costeras, sistemas hidrográficos, nubes, hojas, árboles, vegetales, copos de nieve, y un sinnúmero de otros objetos no son fácilmente descriptos por la geometría tradicional.

La geometría fractal provee una descripción y una forma de modelo matemático para las aparentemente complicadas formas de la naturaleza. Éstas poseen a veces una remarcable invariancia de simplificación bajo los cambios de la magnificación, propiedad que caracteriza a los fractales.

Estos se generan mediante un Algoritmo recursivo, es decir por iteración de una operación.

Es necesario conocer la noción de dimensión fractal (fraccional) provee una manera de medir qué tan rugosa es una curva. Normalmente consideramos que los puntos tienen dimensión 0, las líneas 1, las superficies 2 y los volúmenes 3. A esta idea de dimensión se lo llama dimensión topológica. Sin embargo, una curva rugosa que recorre una superficie puede ser tan rugosa que casi llene la superficie en la que se encuentra. Superficies como el follaje de una árbol o el interior de un pulmón pueden efectivamente ser tridimensionales. Podemos, entonces, pensar de la rugosidad como un incremento en la dimensión: una curva rugosa tiene una dimensión entre 1 y 2, y una superficie rugosa la tiene entre 2 y 3.

La dimensión fraccionaria fractal mide el grado de escabrosidad y/o discontinuidad de un objeto presentando un grado de irregularidad constante a diferentes escalas. Al final resulta una irregularidad regular.

El grado de irregularidad de un objeto no es otra cosa que su eficacia para ocupar espacio y resulta que hay líneas que son más eficaces que otras al ocupar espacio, como la curva de Koch que tiene dimensión 1′2618, ya que es un objeto a caballo entre la línea y la superficie. En cierta medida llega a doblegar la dimensión y obtener más de ella, como lo hace la curva espacio-tiempo en la Teoría de la Relatividad.

Algunos matemáticos han dicho que un fractal es la forma idónea de ver lo infinito con el ojo de la mente, ya que ésta no puede visualizar la infinita autoinclusión de la complejidad que reina en él.

Hay multitud de ejemplos de fractales: el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, la curva de Cesàro, la curva del Dragón, la de Peano y Hilbert, … y todos ellos se nos antojan criaturas extrañas y … bellas, muestran una complejidad regular y una autosemejanza interminable.

Diariamente observamos multitud de objetos con un contorno liso que visto con ojos fractales se tornará tan escabroso como queramos. Siempre han estado entre nosotros: en los helechos, en nuestros pulmones, en la red bronquial, en los copos de nieve, en las cuencas hidrográficas, en las montañas, en el crecimiento de ciertos vegetales, …

La curva de Hilbert es una curva de llenado de espacio que visita cada punto en una rejilla cuadrada de tamaños 2×2, 4×4, 8×8, 16×16, o cualquier otra potencia de 2.Fue descrita por primera vez por David Hilbert en 1892.Las aplicaciones de la curva de Hilbert residen, sobre todo en el campo del procesado de la imagen: especialmente en la compresión de la imagen y en el dithering. Tiene ventajas en aquellas operaciones donde la coherencia entre píxeles vecinos es importante. La curva de Hilbert es también una versión especial de un quadtree; cualquier función de procesado de la imagen que se beneficia del uso de quadtrees pudiere también usar la curva de Hilbert.

CONCLUSION

La curva de Hilbert es fácil de generar. Cuando la aplicamos sobre una fotografía digitalizada o sobre una imagen trazada a rayas, hace mejor uso de la coherencia de píxeles vecinos que la tradicional aproximación basada en escaneado de líneas. La curva de Hilbert ofrece una alternativa al escaneo de una imagen línea a línea.

Esto permite aplicarla para conseguir, por ejemplo, difuminados o degradados de mejor calidad. Difuminar a lo largo de la curva de Hilbert, que es extremadamente irregular para nuestro sistema sensorial, elimina el problema de la adyacencia de puntos que posee un escaneo en líneas horizontales.

Dithering de imágenes con la curva de Hilbert

Como ya hemos adelantado, esta curva es una de las situaciones geométricas patológicas previas a 1975 (concretamente de 1890), pero veremos que existen aplicaciones técnicas de esta curva en proceso digital de imágenes. Cuando queremos volcar una imagen con niveles de gris en una impresora láser de las primeras generaciones, es necesario construir un modelo binario aproximado, ya que estas impresoras solo entienden, para cada uno de los (posiblemente) 300 ppp, un código: 0 o 1 (tinta/no tinta). Para resolver este problema se utilizan técnicas de dithering o dithering. Las técnicas de dithering tienen por objeto simular que se dispone de una paleta de colores muy extensa, cuando, en realidad, solo se dispone de unos pocos colores. También, simular que se dispone de muchos niveles de gris para describir una imagen, cuando solo está disponible una descripción binaria.

Imagen de Lena original en 256 niveles de gris (izquierda), con dithering para imitar 256 niveles a partir de un conjunto menor (centro) y con dithering basado solo en dos tonos (derecha).

Habitualmente, se efectúa un barrido de la imagen por líneas o bloques de píxeles, produciendo la aproximación binaria con el objetivo de minimizar el error global. Normalmente, aparecen pequeños defectos en la imagen así calculada, que hacen obvio el proceso de dithering que se ha usado.

Comparación del dithering tradicional (izquierda) y el dithering con curva de Hilbert (derecha)

Algoritmo de dithering

Para eliminar los defectos antes citados, imaginemos una curva de Hilbert que pasa a través de todos los píxeles de la imagen con niveles de gris. Una secuencia determinada de píxeles sobre la curva se transforma en 0 o 1. La ventaja de este método de barrido es la ausencia de tendencias direccionales, presentes en otros procedimientos.

Curva de Hilbert II

Estas notas sobre el arte Shipibo las escribo por sugerencia de Víctor Barrios, que prepara una exposición de la artesania de estos nativos, que se ha traido de la Amazonía.

Victor es un viajero que todavía utiliza los mapas medievales en los que figura el Paraíso Oriental. Aunque Victor sabe que para emprender la peregrinación a «Oriente», es necesario tener un alma extranjera y un mapa que nada tiene que ver con nuestra geografía física. Este Paraíso es el lugar al que los pueblos de todos los tiempos han nombrado de formas diversas: Itaca, Hiperbóreas, Avalon, Shambala, Thule, Salem, Aztlán… Victor y sus amigos tienen una tarea ardua: difícil y oscuro es el camino y múltiples las posibilidades de extravío, mas grande también debiera ser la esperanza, pues, porque «donde abunda el peligro, crece también aquello que salva».

Jose Chamorro

Médico Estomatólogo, Máster en Medicina de Urgencias, Escultor, socio fundador de la Asociación cultural “Abraham Abulafia”.

Fuente: http://ahaba-abulafia.blogspot.com/

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Es así como la trayectoria de Mark Ryden cruza desde la ilustración hasta un manejo eximio del óleo, trabajando tanto en proyectos personales como en carátulas de discos de célebres artistas como los Red Hot Chili Peppers, Ringo Starr y la mega estrella Michael Jackson. Para este último, Ryden diseñó la carátula del álbum Dangerous, una de las más emblemáticas de Jackson y que según algunos entendidos, junto a Sargent Pepper’s de los Beatles, es una de las carátulas más logradas de la historia del pop.

Aquella mítica carátula la encabezan los ojos del cantante pop tras un antifaz dorado y hacia abajo, numerosos detalles van revelando aquel misterioso pedido de Jackson. Los números 7 y 9, asociados a la buena fortuna en la numerología, se repiten en tres ocasiones. El pequeño vocalista de los Jackson 5 aparece en un rincón protegiendo al protagonista de Mi Pobre Angelito, Macaulay Culkin, conocido amigo de la mega estrella, a quien en su minuto quisieron llamar a declarar por supuestos abusos sexuales de Jackson hacia él. También un niño negro abraza el cráneo de El Hombre Elefante, el tristemente célebre deforme del que Jackson quiso comprar su esqueleto pero no consiguió. Imágenes perturbadoras como fatuos pavos reales, ángeles, túneles del terror, símbolos de la buena fortuna como pequeños elefantes se van descolgando por el infinito cartel y todo este espectáculo críptico lleno de símbolos populares queda presidido por Barnum, uno de los más famosos dueños de circos del siglo XIX, bajo la omnipresente mirada del Rey de Pop. Además aparece Bubbles, su mascota adorada ya muerta. Ryden ha contado que a Jackson no le gustaron los primeros dibujos que hizo de ésta porque no se reflejaba “lo dulce que es”.

Las creaciones de Ryden inquietan al aparecer, por ejemplo, una niña de rodillas rezando ante una aparición de Barbie, cuadros súper oníricos e infantiles donde los protagonistas son rostros reconocidos como Di Caprio, Cristina Ricci o Björk, conocidos admiradores de Ryden, o niñas que tienen de mascota a Benjamin Franklin. Además está la carne presente en casi todas sus pinturas. Chuletas crudas que sirven de pedestal para conejos o apoyo en general. Para el artista

“la vida es una gran ilusión. Somos criaturas de energía pura y la carne es lo que nos mantiene enteros”

Fuente: http://angelita.action.at